Généralités sur la loi de Poisson

Discrète mais bien connue, la loi de Poisson est une loi de probabilité qui s’applique aux événements rares : contrôles qualité (y compris révision comptable), probabilités de défaut de crédit, accidents...

La distribution de Poisson est construite avec un seul paramètre, lambda (λ), qui est à la fois la moyenne et la variance. On peut présenter cette distribution comme étant une approximation d’une loi binomiale lorsque l’effectif n tend vers l’infini (en pratique, plusieurs dizaines) et la probabilité d'occurrence p tend vers zéro (en pratique, p < 0,1). Le produit np tend alors vers λ. Le kurtosis est égal à 1 / λ.

La variable aléatoire X prend des valeurs positives entières (par exemple des unités de temps 1, 2, 3…).

Comme on peut le voir sur les exemples ci-dessous, cette loi est asymétrique mais le devient de moins en moins au fur et à mesure que λ augmente (Cf. graphiques ci-dessous réalisés sur Gretl).

Pour λ = 0,8 :

Pour λ = 2 :

Pour λ = 8 :

Voir aussi la page traitant du théorème de la limite centrée. Les valeurs sont généralement tabulées jusqu’à λ = 18. Au-delà, on se simplifie la vie en utilisant la loi normale.

Précisons que la somme de deux variables de Poisson indépendantes est égale à une variable de Poisson (et réciproquement, une variable peut être décomposée en plusieurs variables indépendantes).

Enfin, la loi de Poisson est utilisée dans le cadre des processus de Poisson.

Exemple 1

2 % des dossiers de crédit arrivent au service contentieux un an après leur signature. Soit un lot de 100 dossiers. Quelle est la probabilité qu’aucun dossier ne devienne contentieux à un an (c’est-à-dire x = 0) ?

On a p = 0,02, n = 100 et np = 2. Les conditions de convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson sont réunies. On avait d’ailleurs facilement deviné que λ était égal à 2…

Première façon de calculer, avec la formule :

Deuxième façon, avec la table dont voici un extrait :

Troisième façon, un peu plus moderne, avec Excel. On tape dans une cellule =LOI.POISSON(0 ;2 ;FAUX). Le premier argument est x, le deuxième est λ et le troisième signifie qu’on ne souhaite pas de cumul.

Exemple 2

Une société constate en moyenne trois accidents du travail par an. L’effectif total est relativement élevé, aussi considère-t-on que le nombre d’accidents suit une loi de Poisson. Quelle est la probabilité que plus de quatre accidents surviennent dans l’année ?

On sait que λ = 3. On peut s’amuser à additionner les nombres relevés sur la table ci-dessus à partir de x = 5. On trouve 0,1847.

Ce résultat est aussi obtenu en se fatiguant moins : si l’on utilise la fonction statistique d’Excel, on s’intéresse cette fois-ci à un cumul. LOI.POISSON(4;3;VRAI) donne 0,8153. Comme on cherche les valeurs au-delà de 4, notre probabilité est de 1 – 0,8153 = 0,1847.

D'autres exemples figurent en pages loi binomiale et absentéisme. Voir aussi la pagegestion des stocks et loi de Poisson.